Black Scholes Stock Options Model

Opciones Modelo de Black-Scholes El modelo de Black-Scholes para calcular la prima de una opción fue introducido en 1973 en un documento titulado The Pricing of Options and Corporate Liabilities publicado en Journal of Political Economy. La fórmula, desarrollada por tres economistas Fischer Black, Myron Scholes y Robert Merton es quizás el modelo de precios de opciones más conocido del mundo. Black falleció dos años antes de que Scholes y Merton recibieran el Premio Nobel de Economía en 1997 por su trabajo en encontrar un nuevo método para determinar el valor de los derivados (el Premio Nobel no se da póstumamente sin embargo, el Comité Nobel reconoció el papel de los Negros en el Negro - Scholes modelo). El modelo Black-Scholes se utiliza para calcular el precio teórico de las opciones de compra y venta europeas, ignorando los dividendos pagados durante la vida útil de las opciones. Aunque el modelo original de Black-Scholes no tomó en consideración los efectos de los dividendos pagados durante la vida de la opción, el modelo puede adaptarse para contabilizar los dividendos determinando el valor ex-dividendo de la fecha de la acción subyacente. El modelo hace ciertas suposiciones, incluyendo: Las opciones son europeas y sólo pueden ejercerse al vencimiento No se pagan dividendos durante la vida de la opción Mercados eficientes (es decir, los movimientos del mercado no pueden predecirse) Sin comisiones La tasa libre de riesgo y la volatilidad de El subyacente son conocidos y constantes Sigue una distribución lognormal que es, los retornos sobre el subyacente se distribuyen normalmente. La fórmula, que se muestra en la Figura 4, tiene en cuenta las siguientes variables: Precio subyacente actual Precio de ejercicio de las opciones Tiempo hasta la expiración, expresado como porcentaje de un año Volatilidad implícita Tipos de interés libres de riesgo Figura 4: Opciones. El modelo se divide esencialmente en dos partes: la primera parte, SN (d1). Multiplica el precio por el cambio en la prima de compra en relación con una variación en el precio subyacente. Esta parte de la fórmula muestra el beneficio esperado de la compra del subyacente. La segunda parte, N (d2) Ke (-rt). Proporciona el valor actual de pagar el precio de ejercicio al vencimiento (recuerde, el modelo de Black-Scholes se aplica a las opciones europeas que sólo se pueden ejercer el día de vencimiento). El valor de la opción se calcula tomando la diferencia entre las dos partes, como se muestra en la ecuación. Las matemáticas implicadas en la fórmula son complicadas y pueden ser intimidantes. Afortunadamente, sin embargo, los comerciantes y los inversores no necesitan saber o incluso entender las matemáticas para aplicar Black-Scholes modelado en sus propias estrategias. Como se mencionó anteriormente, los comerciantes de opciones tienen acceso a una variedad de calculadoras de opciones en línea y muchas de las plataformas de comercio de hoy cuenta con robustas herramientas de análisis de opciones, incluidos los indicadores y hojas de cálculo que realizan los cálculos y los valores de salida de opciones. Un ejemplo de una calculadora Black-Scholes en línea se muestra en la Figura 5, el usuario debe ingresar las cinco variables (precio de ejercicio, precio de la acción, tiempo (días), volatilidad y tasa de interés libre de riesgo). Figura 5: Una calculadora Black-Scholes en línea puede usarse para obtener valores para llamadas y puestas. Los usuarios deben ingresar los campos requeridos y la calculadora hace el resto. Calculadora de cortesía tradingtodayThe Negro y Scholes Modelo: El Negro y Scholes Opción Modelo de precios no apareció de la noche a la mañana, de hecho, Fisher Negro comenzó a trabajar para crear un modelo de valoración de warrants de acciones. Este trabajo involucró el cálculo de un derivado para medir cómo la tasa de descuento de un warrant varía con el tiempo y el precio de las acciones. El resultado de este cálculo tuvo un sorprendente parecido con una conocida ecuación de transferencia de calor. Poco después de este descubrimiento, Myron Scholes se unió a Black y el resultado de su trabajo es un modelo de precios de opciones sorprendentemente precisas. Negro y Scholes no pueden tomar todo el crédito por su trabajo, de hecho su modelo es en realidad una versión mejorada de un modelo anterior desarrollado por A. James Boness en su doctorado. Tesis en la Universidad de Chicago. Black y Scholes mejoras en el modelo Boness vienen en forma de una prueba de que la tasa de interés libre de riesgo es el factor de descuento correcto, y con la ausencia de supuestos sobre las preferencias de riesgo de los inversores. Para entender el modelo mismo, lo dividimos en dos partes. La primera parte, SN (d1), deriva el beneficio esperado de la adquisición de un stock de forma directa. Esto se obtiene multiplicando el precio de las acciones S por la variación de la prima de compra con respecto a una variación del precio de las acciones subyacentes N (d1). La segunda parte del modelo, Ke (-rt) N (d2), da el valor presente de pagar el precio de ejercicio en el día de vencimiento. El valor justo de mercado de la opción de compra se calcula calculando la diferencia entre estas dos partes. La mayoría de las empresas pagan dividendos a sus accionistas, por lo que esto podría parecer una seria limitación al modelo teniendo en cuenta la observación de que los mayores dividendos rendimientos provocar primas de llamadas más bajas. Una manera común de ajustar el modelo para esta situación es restar el valor descontado de un dividendo futuro del precio de la acción. 2) Los términos de ejercicio europeos se utilizan términos de ejercicio europeo dicta que la opción sólo se puede ejercer en la fecha de vencimiento. El término de ejercicio americano permite que la opción se ejerza en cualquier momento durante la vida de la opción, haciendo que las opciones americanas sean más valiosas debido a su mayor flexibilidad. Esta limitación no es una preocupación importante porque muy pocas llamadas se ejercitan nunca antes de los últimos días de su vida. Esto es cierto porque al ejercitar una llamada con anticipación, pierde el valor de tiempo restante en la llamada y recopila el valor intrínseco. Hacia el final de la vida de una llamada, el valor de tiempo restante es muy pequeño, pero el valor intrínseco es el mismo. 3) Los mercados son eficientes Esta suposición sugiere que las personas no pueden predecir constantemente la dirección del mercado o un stock individual. El mercado opera continuamente con precios de acciones siguiendo un proceso continuo. Para entender lo que es un proceso continuo, primero debe saber que un proceso de Markov es aquel en el que la observación en el período de tiempo t depende solamente de la observación precedente. Un proceso es simplemente un proceso de Markov en tiempo continuo. Si usted fuera a dibujar un proceso continuo lo haría sin recoger el lápiz de la hoja de papel. 4) No se cobran comisiones Normalmente los participantes del mercado tienen que pagar una comisión para comprar o vender opciones. Incluso los comerciantes del piso pagan algún tipo de honorario, pero es generalmente muy pequeño. Los honorarios que los inversionistas individuales pagan son más sustanciales y pueden a menudo distorsionar la salida del modelo. 5) Las tasas de interés permanecen constantes y conocidas El modelo de Black y Scholes utiliza la tasa libre de riesgo para representar esta tasa constante y conocida. En realidad, no existe tal cosa como la tasa libre de riesgo, pero la tasa de descuento de los Bonos del Tesoro del Gobierno de los Estados Unidos con 30 días hasta la madurez se suele usar para representarla. Durante períodos de tasas de interés que cambian rápidamente, estas tasas de 30 días están a menudo sujetas a cambios, violando una de las suposiciones del modelo. 6) Las devoluciones se distribuyen lognormally Esta suposición sugiere, los rendimientos de las acciones subyacentes se distribuyen normalmente, lo que es razonable para la mayoría de los activos que ofrecen options. ESOs: Utilizar el modelo de Black-Scholes Las empresas necesitan utilizar un modelo de precios de opciones con el fin de gastos El valor razonable de sus opciones sobre acciones para empleados (OSE). Aquí se muestra cómo las empresas producen estas estimaciones en virtud de las normas vigentes a partir de abril de 2004. Una opción tiene un valor mínimo Cuando se concede, un ESO típico tiene valor de tiempo, pero sin valor intrínseco. Pero la opción vale más que nada. El valor mínimo es el precio mínimo que alguien estaría dispuesto a pagar por la opción. Es el valor propugnado por dos propuestas legislativas (las leyes del Congreso Enzi-Reid y Baker-Eshoo). Es también el valor que las empresas privadas pueden utilizar para valorar sus subvenciones. Si utiliza cero como entrada de volatilidad en el modelo Black-Scholes, obtiene el valor mínimo. Las empresas privadas pueden utilizar el valor mínimo porque carecen de un historial comercial, lo que hace difícil medir la volatilidad. Legisladores como el valor mínimo, ya que elimina la volatilidad - una fuente de gran controversia - de la ecuación. La comunidad de alta tecnología en particular trata de socavar a los Black-Scholes argumentando que la volatilidad no es confiable. Desafortunadamente, eliminar la volatilidad crea comparaciones injustas porque elimina todo riesgo. Por ejemplo, una opción de 50 en la acción de Wal-Mart tiene el mismo valor mínimo que una opción de 50 en una acción de alta tecnología. El valor mínimo asume que la acción debe crecer por lo menos el tipo sin riesgo (por ejemplo, el rendimiento del Tesoro a cinco o 10 años). Ilustramos la idea que se presenta a continuación, examinando una opción de 30 con un plazo de 10 años y una tasa de 5 sin riesgo (y sin dividendos): Puede ver que el modelo de valor mínimo hace tres cosas: (1) crece la acción a La tasa libre de riesgo para el período completo, (2) asume un ejercicio y (3) descontará la ganancia futura al valor actual con la misma tasa libre de riesgo. Cálculo del valor mínimo Si esperamos que una acción consiga por lo menos un rendimiento sin riesgo bajo el método del valor mínimo, los dividendos reducen el valor de la opción (ya que el tenedor de opciones renuncia a dividendos). Dicho de otra manera, si asumimos una tasa de riesgo-menos para la rentabilidad total, pero algunas de las fugas de retorno a los dividendos, la apreciación del precio esperado será menor. El modelo refleja esta menor apreciación al reducir el precio de las acciones. En las dos exposiciones siguientes derivamos la fórmula de valor mínimo. El primero muestra cómo llegamos a un valor mínimo para una acción que no paga dividendos, el segundo sustituye un precio de acción reducido en la misma ecuación para reflejar el efecto reductor de los dividendos. Esta es la fórmula de valor mínimo para una acción que paga dividendos: e precio de la acción e Eulers constante (2.718) d rendimiento de dividendos t opción término k ejercicio (huelga) precio r tasa sin riesgo No se preocupe por la constante e (2.718) es Sólo una forma de compuesto y descuento continuamente en lugar de composición a intervalos anuales. Black-Scholes Volatilidad del Valor Mínimo Podemos entender que el Black-Scholes es igual al valor mínimo de las opciones más el valor adicional para la volatilidad de las opciones: cuanto mayor es la volatilidad, mayor es el valor adicional. Gráficamente, podemos ver el valor mínimo como una función ascendente del término de la opción. La volatilidad es un plus-up en la línea de valor mínimo. Aquellos que están inclinados matemáticamente pueden preferir entender a los Black-Scholes como tomar la fórmula de valor mínimo que ya hemos revisado y agregar dos factores de volatilidad (N1 y N2). Juntos, estos aumentan el valor dependiendo del grado de volatilidad. Black-Scholes debe ajustarse para los ESO Black-Scholes estima el valor razonable de una opción. Es un modelo teórico que hace varias suposiciones, incluyendo la plena capacidad de negociación de la opción (es decir, la medida en que la opción puede ser ejercida o vendida a los titulares de opciones) y una volatilidad constante a lo largo de la vida de las opciones. Si las suposiciones son correctas, el modelo es una prueba matemática y su precio de salida debe ser correcto. Pero estrictamente hablando, los supuestos probablemente no son correctos. Por ejemplo, requiere que los precios de las acciones se muevan en un camino llamado el movimiento browniano - un paseo al azar fascinante que se observa realmente en partículas microscópicas. Muchos estudios disputan que las existencias se muevan solamente de esta manera. Otros piensan que el movimiento browniano se acerca lo suficiente, y consideran a los Black-Scholes una estimación imprecisa pero utilizable. Para las opciones negociadas a corto plazo, el Black-Scholes ha sido extremadamente exitoso en muchas pruebas empíricas que comparan su producción de precios con los precios de mercado observados. Existen tres diferencias clave entre los OEN y las opciones negociadas a corto plazo (que se resumen en la siguiente tabla). Técnicamente, cada una de estas diferencias viola una suposición de Black-Scholes - un hecho contemplado por las reglas de contabilidad en el FAS 123. Estos incluyen dos ajustes o arreglos a la salida natural de los modelos, pero la tercera diferencia - que la volatilidad no puede mantenerse constante sobre lo inusualmente largo Vida de un ESO - no se abordó. Estas son las tres diferencias y las correcciones de valoración propuestas propuestas en el FAS 123 que siguen vigentes a partir de marzo de 2004. La corrección más importante bajo las reglas actuales es que las compañías pueden usar la vida esperada en el modelo en lugar del término completo real. Es típico que una empresa utilice una vida esperada de cuatro a seis años para valorar las opciones con plazos de 10 años. Esta es una solución incómoda - una ayuda de banda, realmente - ya que Black-Scholes requiere el término real. Pero FASB buscaba una manera casi objetiva de reducir el valor de la ESO, ya que no se negocia (es decir, para descartar el valor de la ESO por su falta de liquidez). Conclusión - Efectos prácticos El Black-Scholes es sensible a varias variables, pero si asumimos una opción de 10 años sobre una acción que paga dividendos y una tasa de 5 sin riesgo, el valor mínimo (no asume volatilidad) nos da 30 Del precio de las acciones. Si añadimos volatilidad esperada de, digamos, 50, el valor de la opción se duplica aproximadamente a casi 60 del precio de las acciones. Por lo tanto, para esta opción en particular, Black-Scholes nos da 60 de precio de las acciones. Pero cuando se aplica a una ESO, una empresa puede reducir el plazo real de 10 años de entrada a una vida más corta esperada. Para el ejemplo anterior, reducir el plazo de 10 años a una vida esperada de cinco años lleva el valor a aproximadamente 45 del valor nominal (y una reducción de al menos 10-20 es típica cuando se reduce el plazo a la vida esperada). Finalmente, la compañía consigue tomar una reducción del corte de pelo en la anticipación de las confiscaciones debido a la rotación del empleado. A este respecto, un corte de pelo adicional de 5-15 sería común. Así, en nuestro ejemplo, el 45 se reduciría más a una carga de gastos de alrededor de 30-40 del precio de las acciones. Después de agregar volatilidad y luego restar por un plazo de vida esperada reducido y confiscaciones esperadas, estamos casi de vuelta al valor mínimo ESOs: Uso del modelo binomial Suscríbase al boletín de finanzas personales para determinar qué productos financieros mejor se adaptan a su estilo de vida Gracias por inscribirse A Finanzas Personales.